SOAL BARISAN DAN PEMBAHASANNYA ~ Lombok Selatan

Rabu, 26 September 2012

SOAL BARISAN DAN PEMBAHASANNYA

Tentukan rumus suku ke n dari barisan 1, 2, 6, 10, 19, 28, 44, 60, 85, 110, 146, 182, ……..

Jawab :

Untuk memudahkan mari kita lihat selisih antara suku-sukunya :

Jika kita amati, maka selisih antara suku-sukunya adalah bialangan kuadra, jadi kesimpulannya bentuk ini merupakan barisan aritmetika bertingkat. Hanya saja di sini bilangan selisih yang ada selalu muncul 2 kali. Untuk itu itu barisan kita pecah menjadi 2 macam, yaitu berisan dengan suku-suku nomor ganjil dan suku-suku nomor genap

Jadi, kedua barisan bisa kita pecah sebagai berikut

1, 0, 6, 0, 19, 0, 44, 0, 85, 0, 146 … dengan suku ke n kita sebut An

dan

0, 2, 0, 10, 0, 28, 0, 60, 0, 110, 0, 182 …. dengan suku ke n kita sebut Bn

Jadi Un pada barisan yang ditanyakan

Un = An + Bn

Jika barisan An kita ambil nomor-nomor ganjilnya maka bisa dinyatakan sbb:

Dengan adanya nilai a, b, c, dan d maka suku ke n bisa kita nyatakan sebagai berikut

Pn = a + (n -1)b + (n-1)(n-2)c/2 + (n-1)(n-2)(n-3).d/6

Pn = 1 + (n – 1).5 + (n-1)(n-2).4 + (n-1)(n-2)(n-3).4/6

Pn = 1 + 5n – 5 + 4(n2 – 3n + 2) + (2/3)(n3 – 6n2 + 11n – 6)

$P_{n}=5n - 4 + 4n^{2}-12n + 8 + \frac{2}{3}n^{3}-4n^{2}+\frac{22}{3}n-4$
$P_{n}=\frac{2}{3}n^{3}+\frac{1}{3}n=\frac{1}{3}n\left ( 2n^{2}+1 \right )$

Kita hanya memakai Pn di nomor-nomor ganjil saja, sehingga bentuk suku ke n harus kita ubah dengan menggunakan
$n=\frac{x+1}{2}$

x = 2n – 1 atau

sehingga

$Q_{x}=P_{\frac{x+1}{2}}=\frac{1}{3}\left ( \frac{x+1}{2} \right )\left ( 2\left ( \frac{x+1}{2} \right )^{2}+1 \right )$

$Q_{x}=\frac{1}{6}(x+1)\left ( \frac{x^{2}+2x+1}{2}+1 \right )=\frac{1}{12}\left ( x+1 \right )\left ( x^{2}+2x+3 \right )$

Akan tetapi, suku-suku Qx yang kita pakai hanyalah yang nomor ganjil, sedangkan nomor genap harus 0, sehingga barisan yang terbentuk adalah

1, 0, 6, 0, 19, 0, 44, 0, 85, 0, 146 …

Dengan demikian barisan ini bisa kita nyatakan menjadi

$A_{n}=Q_{n}\left (\frac{1-(-1)^{n}}{2} \right )=\frac{1}{12}(n+1)(n^{2}+2n+3)\left ( \frac{1-(-1)^{n}}{2} \right )$

Selanjutnya kita akan mengerjakan Bn. Bn memiliki suku-suku sbb:

0, 2, 0, 10, 0, 28, 0, 60, 0, 110, 0, 182 ….

Jika suku-suku pada Bn kita ambil pada nomor genapnya, maka akan diperoleh sbb :

2, 10, 28, 60,110, 182 ….

Jika kita lihat nilai selisih-selisihnya maka akan diperoleh :

Jadi , suku ke n bisa dinyatakan sebagai berikut

Kn = a + (n -1)b + (n-1)(n-2)c/2 + (n-1)(n-2)(n-3).d/6

Kn = 2 + (n – 1)8 + (n-1)(n-2)5 + (n-1)(n-2)(n-3)(2/3)

Kn = 2 + 8n – 8 + 5(n2 – 3n + 2) + (2/3)(n3 – 6n2 + 11n – 6)

$K_{n}=8n-6+5n^{2}-15n+10+\frac{2}{3}n^{3}-4n^{2}+\frac{22}{3}n-4$

$K_{n}=\frac{2}{3}n^{3}+n^{2}+\frac{1}{3}n=\frac{1}{3}n(2n^{2}+3n+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(2n+1)$

Kita hanya memakai Kn di nomor-nomor genap saja, sehingga bentuk suku ke n harus kita ubah dengan menggunakan

x = 2n sehingga n = x/2 sehingga

$L_{x}=K_{\frac{x}{2}}=\frac{1}{3}\left ( \frac{x}{2} \right )\left ( \frac{x}{2}+1 \right )(x+1)=\frac{1}{12}x(x+2)(x+1)$

Akan tetapi, suku-suku Lx yang kita pakai hanyalah yang nomor genap, sedangkan nomor ganjil harus 0, sehingga barisan yang terbentuk adalah

0, 2, 0, 10, 0, 28, 0, 60, 0, 110, 0, 182 ….

Dengan demikian barisan ini bisa kita nyatakan menjadi

$B_{n}=L_{n}\left ( \frac{1+(-1)^{n}}{2} \right )=\frac{1}{12}n(n+1)(n+2)\left ( \frac{1+(-1)^{n}}{2} \right )$

Mengingat Un = An + Bn maka suku ke n yang ditanyakan soal bisa dinyatakan dengan

$U_{n}=\frac{1}{12}(n+1)(n^{2}+2n+3)\left ( \frac{1-(-1)^{n}}{2} \right )+\frac{1}{12}n(n+1)(n+2)\left ( \frac{1+(-1)^{n}}{2} \right )$

Lombok Selatan

PENGUNJUNG

k

e

PERCOBAAN

Rabu, 26 September 2012